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[理学]常微分方程教程_丁同仁第二版_习题解答.pdf
- [理学]常微分方程教程_丁同仁第二版_习题解答
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-1 判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １． (3 x 2 − 1) dx + (2 x + 1) dy = 0 解： p ( x, y ) = 3 x 2 − 1 ， q ( x, y ) = 2 x + 1 ， 则
∂q ∂p ∂p ∂q = 2 ，所以 = 0， ≠ ∂x ∂y ∂y ∂x
即，原方程不是恰当方程．
２． ( x + 2 y ) dx + (2 x + y ) dy = 0 解： p ( x, y ) = x + 2 y,
q ( x, y ) = 2 x − y ,
所以
则
∂q ∂p = 2, = 2, ∂x ∂y
∂p ∂q ，即 原方程为恰当方程 = ∂y ∂x
则 xdx + (2 ydx + 2 xdy ) − ydy = 0,
两边积分得：
x2 y2 + 2 xy − = c. 2 2
3． ( ax + by ) dx + (bx + cy )dy = 0 解： p ( x, y ) = ax + by,
(a,b 和 c 为常数)．
q( x, y ) = bx + cy,
则
∂q ∂p = b, = b, ∂x ∂y
所以
∂p ∂q ，即 原方程为恰当方程 = ∂y ∂x
则 axdx + bydx + bxdy + cydy = （） 0,
两边积分得：
ax 2 cy 2 + bxy + = c. 2 2
(b ≠ 0)
4． (ax −
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