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[学科竞赛]平面几何精选--冷老师--08[1][1]1280.doc
- [学科竞赛]平面几何精选--冷老师--08[1][1]1280
平面几何精选08.1.280
01
原创 am = mb，l1∩l3 = e, l1∩l4 = f, l2∩l3 = g, l2∩l4 = h，eh∩ab = c，fg∩ab = d．求证 cm = md． 证：
l
2
l3 l
●
若把 l1·l2 = 0 看作一二次曲线． 则 ab 为其一弦，m 为此弦的中点． l3、l4 为过此中点的两弦．
a c
g
4
h
l1
e●
●
f
m
d
b
由蝴蝶定理知 eh、fg 与 ab 的交点满足 cm = md．
评注：本题巧妙地将问题转化成为曲线系，并与蝴蝶定理相结合，很值得学习．
1
02
双心四边形，外心为 o，外接圆半径为 r，内心为 p，内切圆半径为 r，oi = h．证明 证：如图，分别过 k、l、m、n 作 pk、pl、pm、pn 垂线交于 a、b、c、d． ∵ ∠lcm = 180－∠lpm = ∠plm + ∠pml = ∠kan = 1 ∠lkn + ∠knm． 2
t
1 1 1 ． 2 + 2 = r2 r + h r－h
1 ∠mlk + ∠lmn, 2
b
α
∴ a、b、c、d 四点共圆． 我们设其半径为，易证 b、p、d；a、p、c 分别三点共线． pc ap ∴ r = pl sin = pb sin sin = pb· , bc ab pc·ap = 2－d 2 d 为 abcd 的外心记为与 p 的距离． 又易证 ac⊥bd，∴ 2－d 2 pb 1 = r= „ ① bc·ab 2 2
c l
β
k
α ● ●o´
ω a<br/
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