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ppt[理学]高数52-53
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[理学]高数52-53
§5.2
换元积分法
能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效的积分法.
一.凑微分法 凑微分法
例 计算
∫ cos 2xdx
分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到. 分析 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不 同. 但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与 积分变量变得相同, 那么就可用公式 (u是x的函数) 求出此不定积分.
∫ cos udu = sin u + c
1
1 解 qdx = d 2x 2 1 1 ∴∫ cos2xdx = ∫ cos2x ⋅ d (2x) = ∫ cos2xd (2x) 2 2
1 令u = 2x ∫ cos udu 2 1 1 = sin u + c u回代 sin2x + c 2 2
这种方法的实质是当被积函数为复合函数时, 注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d 可不必换元) 恒等变形将原来的微分 凑成新的微分dϕ(x)(可不必换元), 凑成新的微分 可不必换元 使原积分变成可直接用积分公式来计算. 使原积分变成可直接用积分公式来计算. 这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
2
定理4 定理4 设 f (u)du = f(u) + c, 且 u = ϕ(x)具有连续导数, 则
∫
∫ f [ϕ(x)]dϕ(x) = f[ϕ(x)] + c.
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.
q[f(ϕ(x)) + c]′ = fu′ ⋅ ux′ = f (ϕ(x)) ⋅ ϕ ′(x)
为自变量时, 注1.定理4中,若u为自
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